Anderes Wort für Astroide?
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Schreibweise
Astroide
Das Wort vorlesen lassen:Erklärung für Astroide
Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve, die sich
mit einem Parameter
t
∈
[
0
,
2
π
]
{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}
durch die Parametergleichungen
x
=
a
(
cos
t
)
3
{\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ }
y
=
a
(
sin
t
)
3
{\displaystyle y=a(\sin t)^{3}\ }
oder durch die implizite Gleichung
x
2
3
+
y
2
3
=
a
2
3
{\displaystyle x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}\,}
, welche äquivalent zu
(
x
2
+
y
2
−
a
2
)
3
+
27
a
2
x
2
y
2
=
0
{\displaystyle \quad (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0}
ist,
beschreiben lässt.
a
{\displaystyle a}
ist dabei eine feste positive, reelle Zahl. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius
1
4
a
{\displaystyle {\tfrac {1}{4}}a}
beschreibt, der innen auf einem Kreis mit Radius
a
{\displaystyle a}
abrollt. Sie ist also eine spezielle Hypozykloide.
Für ihren Flächeninhalt
A
{\displaystyle A}
gilt
A
=
3
8
π
a
2
{\displaystyle A={\frac {3}{8}}\pi a^{2}}
.
Die Länge
ℓ
{\displaystyle \ell }
der gesamten Kurve beträgt
ℓ
=
6
a
{\displaystyle \ell =6a}
.
Innerhalb eines Kurvenviertels
0
≤
t
≤
π
2
{\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}
gilt für die Bogenlänge
s
(
t
)
=
3
2
a
sin
2
(
t
)
{\displaystyle s(t)={\frac {3}{2}}a\sin ^{2}(t)}
und für den Krümmungsradius
ρ
(
t
)
=
3
2
a
sin
(
2
t
)
{\displaystyle \rho (t)={\frac {3}{2}}a\sin(2t)}
.
Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.
Quelle: wikipedia.org
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