Anderes Wort für Bernoulli-Gleichung?

Erklärung für Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung (auch Gesetz von Bernoulli) ist die Grundgleichung für die eindimensionale Behandlung von Strömungen in Fluiden (Flüssigkeiten und Gase). Die Gleichung gilt näherungsweise für viele Strömungen in realen Flüssigkeiten und Gasen und ist daher Grundlage vieler aero- und hydrodynamischer Berechnungen in der Technik. Sie wurde im 18. Jahrhundert von Daniel und Johann Bernoulli aufgestellt und ist Ausdruck der Tatsache, dass in der Mechanik Arbeit geleistet werden muss, um einem Körper, hier einem Fluidelement, Energie zuzuführen. Die Bernoulli-Gleichung wird auch mit dem in isolierten Systemen gültigen Energieerhaltungssatz in Verbindung gebracht; die Beschreibung hier folgt Prandtl, Spurk und Landau/Lifshitz. Nach Bernoulli lässt sich eine Größe e {\displaystyle e} mit der physikalischen Dimension einer spezifischen (d. h. massebezogenen) Energie angeben, die ein Integral der Bewegung ist, also auf dem Weg des Fluidelements längs seiner Stromlinie konstant bleibt. In ihrer einfachsten Form lautet die Bernoulli-Gleichung in einer stationären Strömung eines viskosität­sfreien inkompressiblen Fluids in einem homogenen äußeren Kraftfeld, wie das Schwerefeld eines ist: e = u 2 2 + p ρ + g z = k o n s t a n t a u f e i n e r S t r o m l i n i e {\displaystyle e={\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+g\,z={\mathsf {konstant\;auf\;einer\;Stromlinie}}} Hierin ist u {\displaystyle u} die Geschwindigkeit an einem Ort auf der Stromlinie, p {\displaystyle p} der thermodynamische Druck, unter dem das Fluid hier steht (manchmal statischer Druck und bei z = 0 {\displaystyle z=0} Umgebungsdruck oder Betriebsdruck genannt), ρ {\displaystyle \rho } die Dichte, g {\displaystyle g} die Schwerebeschleunigung und z {\displaystyle z} die Höhe über einer Bezugsebene bei z = 0 {\displaystyle z=0} , wo der Betriebsdruck herrscht. Der erste Summand auf der rechten Seite ist die spezifische kinetische Energie des Fluidelements. Der zweite Summand entspricht der spezifischen Enthalpie oder Druckfunktion und berücksichtigt die am Fluidelement geleistete spezifische Verdrängungsarbeit (auch: Verschiebearbeit). Der dritte Summand steht für die spezifische Lageenergie des Fluidelements im Potential des äußeren Kraftfelds. Die Bernoulli-Konstante e {\displaystyle e} wird an einem Punkt der Stromlinie ermittelt und bleibt auf der ganzen Stromlinie konstant. Daher balancieren sich Veränderungen der drei Summanden längs einer Stromlinie gegenseitig aus. Durch Multiplikation mit geeigneten Konstanten ergeben sich äquivalente Formen dieser Energiegleichung, ausgedrückt mithilfe von Größen anderer physikalischer Dimension. Multiplikation der Energiegröße e {\displaystyle e} mit der (konstanten) Dichte ρ {\displaystyle \rho } ergibt die bernoullische Druckgleichung p tot = ρ e = ρ u 2 2 + p + ρ g z = k o n s t a n t a u f e i n e r S t r o m l i n i e {\displaystyle p_{\text{tot}}=\rho e=\rho {\frac {u^{2}}{2}}+p+\rho \,g\,z={\mathsf {konstant\;auf\;einer\;Stromlinie}}} . Auch diese als Totaldruck bezeichnete Größe p tot = ρ e {\displaystyle p_{\text{tot}}=\rho e} ist konstant; Veränderungen der drei Summanden balancieren sich auf einer Stromlinie gegenseitig aus. Wird z. B. bei gleichbleibender Höhe die Strömungsgeschwindigkeit an einem Staupunkt vollständig abgebremst, so wächst an diesem Punkt der Druck p {\displaystyle p} um die Größe p dyn = ρ 2 u 2 {\displaystyle p_{\text{dyn}}={\frac {\rho }{2}}u^{2}} , die treffend Staudruck oder dynamischer Druck genannt wird. Hierauf beruht z. B. das hydrodynamische Paradoxon. Messgeräte für den Totaldruck ( z = 0 {\displaystyle z=0} angenommen) und den dynamischen Druck sind Pitotrohr bzw. Prandtlsonde. Dividiert man die Bernoulli-Konstante e {\displaystyle e} durch die (konstante) Schwerebeschleunigung g {\displaystyle g} , ergibt sich die bernoullische Höhengleichung. Sie gibt die bei der idealen Strömung in jedem Stromfaden erhaltene Größe so an, wie ursprünglich von D. Bernoulli veröffentlicht: h = e g = u 2 2 g + p ρ g + z = k o n s t a n t a u f e i n e r S t r o m l i n i e {\displaystyle h={\frac {e}{g}}={\frac {u^{2}}{2g}}+{\frac {p}{\rho g}}+z={\mathsf {konstant\;auf\;einer\;Stromlinie}}} Die drei Summanden in der Höhengleichung heißen Geschwindigkeitshöhe u 2 2 g {\displaystyle {\tfrac {u^{2}}{2g}}} , Druckhöhe p ρ g {\displaystyle {\tfrac {p}{\rho g}}} und Ortshöhe z {\displaystyle z} . Ihre Summe ist die längs einer Stromlinie konstante Energiehöhe e g {\displaystyle {\tfrac {e}{g}}} . Instationarität der Strömung, Kompressibilität und Viskosität des Fluids können durch Erweiterungen der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt werden. So findet sie breite Anwendung in der Auslegung technischer Rohrströmungen, im Turbomaschinen- und Windenergieanlagen­bau.

Quelle: wikipedia.org